La génération des listes en compréhension et en extension est mise en lien avec la notion d’ensemble.
Les conditions apparaissant dans les listes définies en compréhension permettent de travailler la logique.
Afin d’éviter des confusions, on se limite aux listes sans présenter d’autres types de collections.
Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension).
Manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer, etc.) et leurs indices.
Parcourir une liste.
Itérer sur les éléments d’une liste.
Suites numériques, modèles discrets.
Contenus
Exemples de modes de génération d’une suite: explicite 𝑢𝑛 = ƒ (𝑛), par une relation de récurrence 𝑢𝑛 + 1 = ƒ (𝑢𝑛), par un algorithme, par des motifs géométriques.
Notations : 𝑢(𝑛), 𝑢𝑛, (𝑢(𝑛)), (𝑢𝑛).
Suites arithmétiques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à accroissements constants. Lien avec les fonctions affines. Calcul de 1 + 2 + … + 𝑛.
Suites géométriques : exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à taux constant. Lien avec la fonction exponentielle. Calcul de 1 + 𝑞 + … + 𝑞𝑛.
Sens de variation d’une suite.
Sur des exemples, introduction intuitive de la notion de limite, finie ou infinie, ou l’absence de limite d’une suite.
Capacités attendues
Dans le cadre de l’étude d’une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique, et passer de l’un à l’autre.
Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.
Calculer des termes d’une suite définie explicitement, par récurrence ou par un algorithme.
Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer le sens de variation.
Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
Conjecturer, dans des cas simples, la limite éventuelle d’une suite.
Démonstrations
Calcul du terme général d’une suite arithmétique, d’une suite géométrique.
Calcul de 1 + 2 + … + 𝑛.
Calcul de 1 + 𝑞 + … + 𝑞𝑛.
Exemples d’algorithme
Calcul de termes d’une suite, de sommes de termes, de seuil.
Calcul de factorielle.
Liste des premiers termes d’une suite : suites de Syracuse, suite de Fibonacci.
Approfondissements possibles
Tour de Hanoï.
Somme des n premiers carrés, des n premiers cubes.
Remboursement d’un emprunt par annuités constantes.
Équations, fonctions polynômes du second degré.
Contenus
Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe, expression de la somme et du produit des racines.
Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Discriminant. Factorisation éventuelle. Résolution d’une équation du second degré. Signe.
Capacités attendues
Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée.
Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts.
Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies : racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.
Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).
Démonstrations
Résolution de l’équation du second degré.
Approfondissements possibles
Factorisation d’un polynôme du troisième degré admettant une racine et résolution de l’équation associée.
Factorisation de 𝑥𝑛 – 1 par 𝑥 – 1, de 𝑥𝑛 – a𝑛 par 𝑥 – a.
Déterminer deux nombres réels connaissant leur somme s et leur produit p comme racines de la fonction polynôme 𝑥 ↦ 𝑥² – s𝑥 + p.
Dérivation.
Contenus
Point de vue local
Taux de variation. Sécantes à la courbe représentative d’une fonction en un point donné.
Nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation. Notation ƒ ’(a).
Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme « limite des sécantes ». Pente. Équation : la tangente à la courbe représentative de ƒ au point d’abscisse a est la droite d’équation 𝑦 = ƒ (a) + ƒ ‘(a)(𝑥 – a).
Approximation linéaire : fonction affine tangente 𝑥 ↦ ƒ (a) + ƒ ‘(a)(𝑥 – a) et approximation de ƒ (a + h) par ƒ (a) + ƒ ‘(a)h.
Point de vue global
Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée.
Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée.
Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, inverse, quotient.
Pour 𝑛 dans ℤ, fonction dérivée de la fonction 𝑥 ↦ 𝑥 𝑛.
Fonction valeur absolue : étude de la dérivabilité en 0.
Capacités attendues
Calculer un taux de variation, la pente d’une sécante.
Interpréter le nombre dérivé en contexte : pente d’une tangente, vitesse instantanée, cout marginal, etc.
Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point à une courbe représentative connaissant le nombre dérivé.
Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction.
Calculer une valeur approchée de ƒ (a + h).
Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables.
Démonstrations
Équation de la tangente en un point à une courbe représentative.
La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.
Fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse.
Fonction dérivée d’un produit.
Exemples d’algorithme
Écrire la liste des coefficients directeurs des sécantes pour un pas donné.
Variations et courbes représentatives des fonctions.
Contenus
Représentation algébrique et graphique de fonctions paires, impaires. Traduction géométrique.
Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée ; caractérisation des fonctions constantes.
Nombre dérivé en un extrémum, tangente à la courbe représentative.
Capacités attendues
Étudier les variations d’une fonction. Déterminer les extrémums.
Résoudre un problème d’optimisation.
Exploiter les variations d’une fonction pour établir une inégalité. Étudier la position relative de deux courbes représentatives.
Étudier, en lien avec la dérivation, une fonction polynôme du second degré : variations, extrémum, allure selon le signe du coefficient de 𝑥².
Exemples d’algorithme
Méthode de Newton, en se limitant à des cas favorables.
Fonction exponentielle.
Contenus
Définition de la fonction exponentielle comme unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant ƒ ‘ = ƒ et ƒ (0) = 1. L’existence et l’unicité sont admises. Notation exp(𝑥).
Pour tous réels 𝑥 et 𝑦, exp(𝑥 + 𝑦) = exp(𝑥) exp(𝑦) et exp(𝑥) exp(–𝑥) = 1. Nombre e. Notation e𝑥.
Signe, sens de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle. Lien avec les suites géométriques.
Capacités attendues
Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
Pour a réel, dérivée de la fonction t ↦ eat.
Pour une valeur numérique strictement positive de k, représenter graphiquement les fonctions t ↦ e–kt et t ↦ ekt.
Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle (par exemple évolution d’un capital à taux fixe, décroissance radioactive).
Exemples d’algorithme
Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler.
Détermination d’une valeur approchée de e à l’aide de la suite ((1 +1/n )n ).
Approfondissements possibles
Unicité d’une fonction ƒ dérivable sur ℝ telle que vérifiant ƒ ‘ = ƒ et ƒ (0) = 1.
Pour tous réels 𝑥 et 𝑦, exp(𝑥 + 𝑦) = exp(𝑥) exp(𝑦).
La fonction exponentielle est strictement positive et croissante.
Trigonométrie.
Contenus
Cercle trigonométrique. Longueur d’arc. Radian.
Enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique. Image d’un nombre réel.
Cosinus et sinus d’un nombre réel. Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle. Valeurs remarquables.
Capacités attendues
Placer un point sur le cercle trigonométrique.
Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer, pour des valeurs remarquables de 𝑥, les cosinus et sinus d’angles associés à 𝑥.
Démonstration
Calcul de cos 𝜋/4, sin 𝜋/4, cos 𝜋/3, sin 𝜋/3
Exemple d’algorithme
Approximation de π par la méthode d’Archimède.
Calcul vectoriel et produit scalaire.
Contenus
Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caractérisation de l’orthogonalité.
Bilinéarité, symétrie. En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d’orthogonalité.
Expression des coordonnées dans une base orthonormée en termes de produits scalaires avec les vecteurs de la base.
Développement de ‖𝑢⃗ + 𝑣‖2 et ‖𝑢⃗ − 𝑣 ‖2. Formule d’Al-Kashi.
Transformation de l’expression MA.MB.
Capacités attendues
Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans le plan.
En vue de la résolution d’un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée (en utilisant la projection orthogonale, à l’aide des coordonnées, à l’aide des normes et d’un angle, à l’aide de normes).
Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique.
Démonstration
Formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire).
Ensemble des points M tels que MA.MB=0 (démonstration avec le produit scalaire).
Approfondissements possibles
Loi des sinus.
Concourance des hauteurs d’un triangle.
Les médianes d’un triangle concourent au centre de gravité.
Géométrie repérée.
Dans cette section, le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Contenus
Vecteur normal à une droite. Le vecteur de coordonnées (a, b) est normal à la droite d’équation a𝑥 + b𝑦 + c = 0.
Projection orthogonale d’un point sur une droite.
Équation de cercle.
Capacités attendues
Déterminer une équation cartésienne d’une droite connaissant un point et un vecteur normal.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite.
Déterminer et utiliser l’équation d’un cercle donné par son centre et son rayon.
Reconnaitre une équation de cercle, déterminer centre et rayon.
Utiliser un repère pour étudier une configuration.
Approfondissements possibles
Recherche de l’ensemble des points équidistants de l’axe des abscisses et d’un point donné.
Déterminer l’intersection d’un cercle ou d’une parabole d’équation 𝑦 = a𝑥2 + b𝑥 + c avec une droite parallèle à un axe.
Probabilités conditionnelles et indépendance.
Contenus
Indépendance de deux évènements.
Partition de l’univers (systèmes complets d’évènements). Formule des probabilités totales.
Succession de deux épreuves indépendantes. Représentation par un arbre ou un tableau.
Pour 𝑛 ⩽ 4, répétition de 𝑛 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.
Capacités attendues
Dans des cas simples, calculer une probabilité à l’aide de la formule des probabilités totales.
Savoir utiliser ou justifier l’indépendance de deux évènements.
Représenter la succession de deux épreuves indépendantes par un arbre ou un tableau.
Pour 𝑛 ⩽ 4, représenter l’arbre associé à la répétition de 𝑛 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques afin de calculer des probabilités.
Exemple d'algorithme
Méthode de Monte-Carlo : estimation de l’aire sous la parabole, estimation du nombre π.
Approfondissements possibles
Exemples de succession de plusieurs épreuves indépendantes.
Exemples de marches aléatoires.
Variables aléatoires réelles.
Le programme ne considère que des univers finis et des variables aléatoires réelles.
L’objectif est simultanément de développer une intuition autour de l’idée de nombre dépendant du hasard et de formaliser la notion mathématique de variable aléatoire comme fonction numérique définie sur un univers, permettant d’affecter des probabilités aux valeurs possibles de la variable.
Contenus
Variable aléatoire réelle : modélisation du résultat numérique d’une expérience aléatoire ; formalisation comme fonction définie sur l’univers et à valeurs réelles.
Loi d’une variable aléatoire.
Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire.
Linéarité de l’espérance.
Formule de König-Huygens.
Capacités attendues
Interpréter en situation et utiliser les notations {X = a}, {X ⩽ a}, P(X = a), P(X ⩽ a). Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire.
Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
Calculer une espérance, une variance, un écart type.
Utiliser la notion d’espérance dans une résolution de problème (mise pour un jeu équitable, etc.).
Exemple d'algorithme
Algorithme renvoyant l’espérance, la variance ou l‘écart type d’une variable aléatoire.
Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné, en français, en anglais.
Approfondissements possibles
Pour X variable aléatoire, étude de la fonction du second degré 𝑥 ↦ E((X – 𝑥)²).
Expérimentations.
Le travail expérimental de simulation d’échantillons prolonge celui entrepris en seconde.
L’objectif est de faire percevoir le principe de l’estimation de l’espérance d’une variable aléatoire, ou de la moyenne d’une variable statistique dans une population, par une moyenne observée sur un échantillon.
Simuler une variable aléatoire avec Python ou un tableur.
Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d’un échantillon de taille n d’une variable aléatoire.
Étudier sur des exemples la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille n d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable aléatoire.
Simuler, avec Python ou un tableur, N échantillons de taille n d’une variable aléatoire, d’espérance μ et d’écart type σ. Si m désigne la moyenne d’un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre m et μ est inférieur ou égal à 2𝜎/√n